埃魅知识百科 > 已知a,b,c,d都是实数，且A平方+B平方=1 C平方+D平方=1 求证（AC+BD）的绝对值是不是小于等于1 要过程

已知a,b,c,d都是实数，且A平方+B平方=1 C平方+D平方=1 求证（AC+BD）的绝对值是不是小于等于1 要过程

2025-12-18 09:15:42

推荐回答（4个）

回答1：

2AC小于等于A平方加C平方，2BD小于等于B平方加C平方。所以AC+BD的绝对值就小于等于二分之一的A平方加C平方和二分之一B平方加D平方的和的绝对值。把右边绝对值变为二份之一的A平方加B平方加C平方加D平方。又有A平方加B平方等于1，C平方加B平方等于1，所以右边的绝对值化简后就是1，则AC+BD的绝对值是小于等于1的。

回答2：

A平方+B平方=1 A平方+B平方 -2|A||B|大于等于0 2 |A||B|小于等于1 所以|A||B|小于等于1/2 同理|B||D|小于等于1/2（AC+BD）的绝对值小于等于|A||B|+|B||D|小于等于1也即（AC+BD）的绝对值小于等于1

回答3：

设a=sinA, b=cosA; c=sinB, d=cosB; 则
|ac+bd|
=|sinAsinB+cosAcosB|
=|cos(A-B)|<=1.

回答4：

若ab异号，或cd异号，显然成立。现假设ab同号，cd同号a�0�5+b�0�5=1c�0�5+d�0�5=1a�0�5+b�0�5≥2根号（a�0�5b�0�5）=2ab，则ab≤1/2同理，cd≤1/2∴ab+cd≤1