为什么单位法向量en=那三个cos?

曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦. 对于yoz面,dydz = cosα dS 对于zox面,dzdx = cosβ dS 对于xoy面,dxdy = cosγ dS 其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域考虑在xoy面上,γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角这个夹角的范围是0 ≤ γ ≤ π 并且当0 ≤ γ ≤ π/2时,cosγ ≥ 0 当π/2 ≤ γ ≤ π时,cosγ ≤ 0 当γ = 0时,dS = dxdy,因为dS的在xoy面下的投影正好是dxdy,法向量的方向与正z轴平行当γ = π时,dS = - dxdy,dS的法向量正好指向下,法向量方向与z负轴平行,所以取负数所以这解释了为什么当Σ取上侧时取正号,Σ取下侧时取负号其余两个面的做法也是这样,在zox面,右侧取正号,左侧取负号在yoz面,前侧取正号,后侧取负号 这个方向余弦一般在两类曲面之间的转换或关于曲面的积分的证明题会用到,平时不常用的. 方向余弦的求法： 找垂直于对应曲面的向量,即法向量,然后除以该法向量的长度,得单位法向量,就是方向余弦 cosα = - f'x/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2] cosβ = - f'y/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2] cosγ = 1/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2] 其中曲面的方程是z = f(x,y)

想想一下直角坐标空间中有一点(a,b,c)，这一点向X,Y,Z轴做垂线，生成一个长方体，原点和这个空间的点(a,b,c)分别在长方体的对角线两端。用这个点的坐标a,b,c分别处以对角线的长度，就是3个cos，夹角分别是向量(a,b,c)与对角线的三个夹角。为什么要除以对角线？是为了把这个向量(a,b,c)表示成单位向量。

这就是平面法向量的单位化以后的公式 是拿空间解析几何向量除以模长得到的

曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦. 对于yoz面,dydz = cosα dS 对于zox面,dzdx = cosβ dS 对于xoy面,dxdy = cosγ dS 其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域考虑在xoy面上,γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角这个夹角的范围是0 ≤ γ ≤ π 并且当0 ≤ γ ≤ π/2时,cosγ ≥ 0 当π/2 ≤ γ ≤ π时,cosγ ≤ 0 当γ = 0时,dS = dxdy,因为dS的在xoy面下的投影正好是dxdy,法向量的方向与正z轴平行当γ = π时,dS = - dxdy,dS的法向量正好指向下,法向量方向与z负轴平行,所以取负数所以这解释了为什么当Σ取上侧时取正号,Σ取下侧时取负号其余两个面的做法也是这样,在zox面,右侧取正号,左侧取负号在yoz面,前侧取正号,后侧取负号 这个方向余弦一般在两类曲面之间的转换或关于曲面的积分的证明题会用到,平时不常用的. 方向余弦的求法： 找垂直于对应曲面的向量,即法向量,然后除以该法向量的长度,得单位法向量,就是方向余弦 cosα = - f'x/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2] cosβ = - f'y/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2] cosγ = 1/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2] 其中曲面的方程是z = f(x,y)