∫dx⼀(1+x)(1+x^2)=?

∫ 1/[(1 + x)(1 + x^2)] dx=(1/4)ln[(1 + x)^2/(1 + x^2)] + (1/2)arctan(x) + C。C为常数。

可用待定系数法

令1/[(1 + x)(1 + x^2)] = A/(1 + x) + (Bx + C)/(1 + x^2)

1 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + x)

1 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C)

∴A + B = 0 ==> B = - A

∴B + C = 0 ==> C = - B

∴A + C = 1 ==> C = 1 - A

有1 - A = - (- A) ==> A = 1/2、B = - 1/2、C = 1/2

于是∫ 1/[(1 + x)(1 + x^2)] dx

= (1/2)∫ 1/(1 + x) dx - (1/2)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/2)∫ 1/(1 + x^2) dx

= (1/2)ln|1 + x| - (1/4)ln(1 + x^2) + (1/2)arctan(x) + C

= (1/4)ln[(1 + x)^2/(1 + x^2)] + (1/2)arctan(x) + C

扩展资料：

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

可以拆开来算，答案如图所示

可用待定系数法。
令1/[(1 + x)(1 + x^2)] = A/(1 + x) + (Bx + C)/(1 + x^2)
==> 1 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + x)
==> 1 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C)
∴A + B = 0 ==> B = - A
∴B + C = 0 ==> C = - B
∴A + C = 1 ==> C = 1 - A
有1 - A = - (- A) ==> A = 1/2、B = - 1/2、C = 1/2
于是∫ 1/[(1 + x)(1 + x^2)] dx
= (1/2)∫ 1/(1 + x) dx - (1/2)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/2)∫ 1/(1 + x^2) dx
= (1/2)ln|1 + x| - (1/4)ln(1 + x^2) + (1/2)arctan(x) + C
= (1/4)ln[(1 + x)^2/(1 + x^2)] + (1/2)arctan(x) + C