"(m+n)⼀2≥m^n×n^m开(m+n)次方"怎样证明

2025-12-17 20:05:41

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回答1：

[(m+n)/2]^(m+n)
≥[(mn)^(1/2)]^(m+n)
=m^(m+n)/2*n^(m+n)/2 (1)
(1)式除以m^n×n^m得
[m^(m+n)/2*n^(m+n)/2]/(m^n×n^m)
=m^(m-n)/2*n^(n-m)/2
=[m^(m-n)/2]/[n^(m-n)/2]
=(m/n)^[(m-n)/2] (2)
m≥n时,m/n≥1,(m-n)/2≥0，所以(2)式≥1
m1
所以无论m，n的大小关系如何,均有(2)式≥1
所以(1)式≥m^n×n^m
所以[(m+n)/2]^(m+n)≥(1)式≥m^n×n^m

回答2：

m^n*n^m=m*m*m*.....*n*n*n*......<=[(m+m+m+......+n+n+.....)/(m+n)]^(m+n)
=[(m*n+n*m)/(n+m)]^(m+n)
<[(m+n)/2]^(m+n)
前提应该是m>0,n>0.