函数z=x2一y2的驻点

2025-12-14 23:51:09

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回答1：

假定题目是
求二元函数
Z(X,Y) = X^2 + Y^2 - X - Y
在满足约束
X^2 + Y^2 <= 1
的条件下的最大值和最小值。

由于Z(X,Y)是连续可微函数，因此，它在闭集
X^2 + Y^2 <= 1
内一定能达到最大值和最小值。
而最值点只会在驻点[偏导数为零的点]，和边界点上取到。

先看驻点，
令Z(X,Y)关于X的偏导数为0，有
2X - 1 = 0
令Z(X,Y)关于Y的偏导数为0, 有
2Y - 1 = 0
得驻点（1/2，1/2），此时 Z(1/2,1/2)= -1/2.

由于
Z(X,Y) = [X-(1/2)]^2 + [Y-(1/2)]^2 - (1/2) >= -1/2.

因此，二元函数Z(X,Y)在点（1/2，1/2）处达到最小值-1/2。