已知f为ab中点，ad平行bc，角1等于角2，角3等于角4，求证e为dc中点。

证明：因为 AD//BC，
所以 角DAB+角ABC=180度，
因为 角1=角2，角3=角4，
所以 角2+角3=90度，
所以 角AEB=90度，三角形ABE是直角三角形，
又因为 F为AB中点，
所以 EF=FB=AB/2，
所以 角BEF=角3，
因为 角3=角4，
所以 角BEF=角4，
所以 FE//BC，
因为 AD//BC，FE//BC，
所以 AD//FE//BC，
又因为 F是AB中点，
所以 E为DC中点（平行线等分线段定理）。

证明：延长AE交BC延长线于G，
∵AD∥BC，∴∠1=∠G，∠D=∠ECG，
∵∠1=∠2，∴∠2=∠G，
∴BA=BG，
∵∠3=∠4，
∴AE=GE(等腰三角形三线合一)，
又∠1=∠G，∠D=∠ECG，
∴ΔEAD≌ΔEGC(AAS)，
∴DE=CE，
即E为CD中点。

证明：
∵AD平行于BC
∴角1+角2+角3+角4=180度
∵角1=角2，角3=角4
∴角2+角3=90度
∴角AEB=90度
∵点F为中点
∴EF为中线
∴AF=BF=EF
∴角AEF=角2
∵角2=角1
∴角AEF=角1
∴EF平行于AD
∵AD平行BC
由平行线递推性可得
AD平行EF平行BC
由平行线等分线段定理可得：
DE=EC
即点E为DC中点

证 因为 AD //BC 所以∠DAB+∠CBF=180° 因为 ∠1=∠2 ∠3=∠4
所以 ∠2+∠3=（∠DAB+∠CBF)/2=90° 所以∠AEB=90°
因为 F为AB中点 所以 AF=AF=BF 所以∠FEA=∠2 ∠FEB=∠3
所以 ∠FEA=∠1 ∠FEB=∠4 所以EF//AD
所以 E为DC的中点